Application à la loi binomiale

Propriété

Soit  `n`  un entier naturel et `p\in]0;1[` .
On considère  \(n\)  variables aléatoires  `X_1` ,  `X_2` , ...,  `X_n`   indépendantes et suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre  `p` .
On appelle  `X`  la variable aléatoire définie par  \(X=X_1+X_2+\dots+X_n\) .
Alors  \(X\)  suit une loi binomiale de paramètres  \(n\)  et  \(p\) .

Remarque

Pour tout entier  \(i\) compris entre  \(1\) et  `n` , la variable aléatoire  \(X_i\)  prend ses valeurs dans  \(\{0;1\}\) , la valeur  \(1\) correspondant au succès de l'épreuve de Bernoulli associée à cette variable. La somme des variables  \(X_i\)  correspond donc au nombre de fois où la valeur  \(1\) est obtenue, c'est-à-dire au nombre de succès de ces épreuves identiques et indépendantes : on se retrouve bien dans le cadre de la loi binomiale.

Propriété

Soit  `n`  un entier naturel et `p\in]0;1[` . Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres  \(n\)  et  \(p\) . Alors :

• \(E(X)=np\)
  
• \(V(X)=np(1-p)\)
  
• \(\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}\)
  

Démonstration

Soit  `X_1` ,  `X_2` , ...,  `X_n`   des variables indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètres  \(n\)  et  \(p\) .
Soit  \(X=X_1+X_2+\dots+X_n\) . 
D'après la propriété précédente,  \(X\)  suit une loi binomiale de paramètres  \(n\)  et  \(p\) .

Par ailleurs, par linéarité de l'espérance, on a  \(E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\dots +E(X_n)\) .
Or,  \(E(X_1)=E(X_2)=\dots=E(X_n)=p\) .
Ainsi,  \(E(X)=np\) .

De plus, les variables aléatoires  `X_1` ,  `X_2` , ...,  `X_n`   étant  indépendantes , on a également  \(V(X)=V(X_1)+V(X_2)+\dots +V(X_n)\) .
Or,  \(V(X_1)=V(X_2)=\dots=V(X_n)=p(1-p)\) .
Ainsi,  \(V(X)=np(1-p)\) .

Enfin,  \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}\) .