Application à la loi binomiale

Propriété

Soit  $n$  un entier naturel et $p\in ]0;1[$ .
On considère  $n$  variables aléatoires  $X_1$ ,  $X_2$ , ...,  $X_n$   indépendantes et suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètre  $p$ .
On appelle  $X$  la variable aléatoire définie par  $X=X_1+X_2+\cdots +X_n$ .
Alors  $X$  suit une loi binomiale de paramètres  $n$  et  $p$ .

Remarque

Pour tout entier  $i$ compris entre  $1$ et  $n$ , la variable aléatoire  $X_i$  prend ses valeurs dans  $\{0;1\}$ , la valeur  $1$ correspondant au succès de l'épreuve de Bernoulli associée à cette variable. La somme des variables  $X_i$  correspond donc au nombre de fois où la valeur  $1$ est obtenue, c'est-à-dire au nombre de succès de ces épreuves identiques et indépendantes : on se retrouve bien dans le cadre de la loi binomiale.

Propriété

Soit  $n$  un entier naturel et $p\in ]0;1[$ . Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres  $n$  et  $p$ . Alors :

• $E(X)=np$
  
• $V(X)=np(1-p)$
  
• $\sigma (X)=\sqrt{p(1-p)}$
  

Démonstration

Soit  $X_1$ ,  $X_2$ , ...,  $X_n$   des variables indépendantes suivant toutes une loi de Bernoulli de paramètres  $n$  et  $p$ .
Soit  $X=X_1+X_2+\cdots +X_n$ . 
D'après la propriété précédente,  $X$  suit une loi binomiale de paramètres  $n$  et  $p$ .

Par ailleurs, par linéarité de l'espérance, on a  $E(X)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots +E(X_n)$ .
Or,  $E(X_1)=E(X_2)=\cdots =E(X_n)=p$ .
Ainsi,  $E(X)=np$ .

De plus, les variables aléatoires  $X_1$ ,  $X_2$ , ...,  $X_n$   étant  indépendantes , on a également  $V(X)=V(X_1)+V(X_2)+\cdots +V(X_n)$ .
Or,  $V(X_1)=V(X_2)=\cdots =V(X_n)=p(1-p)$ .
Ainsi,  $V(X)=np(1-p)$ .

Enfin,  $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}$ .